Nonstandard FDTD Simulations

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Morpho Butterfly Rendering

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(a) Whispering Gallery Mode	(b) モルフォ蝶のレンダリング

このページでは，Nonstandard有限差分時間領域(FDTD: Finite Difference Time Domain)法に基づく研究を紹介している．Nonstandard FDTD法は電磁場の数値計算手法の一つであり，差分法を単色波に最適化することにより，従来のFDTD法よりも飛躍的に高い精度を発揮する．Nonstandard FDTD法の理論と実例は，http://nsfdtd.org/theory/で紹介している．

図(a)は，Whispering Gallery Modeのシミュレーション結果である．Whispering Gallery Modeは，対称的な構造内部で発生する共振であり，その収束には長い周期がかかる．従来のFDTD法では，長い周期の計算における誤差の蓄積のため，Whispering Gallery Modeを高精度にシミュレーションすることはできなかった．これに対してNonstandard FDTD法は，極めて高い精度でWhispering Gallery Modeをシミュレーションすることに成功している．

図(b)は，Nonstandard FDTD 法を用いてモルフォ蝶の発色を解析し，レンダリングした結果である．我々のレンダリングと実際のモルフォ蝶を，以下の動画で比較することができる.

CGアニメーション	実物（モルフォヘレナ）

モルフォ蝶は，アマゾンの宝石とも呼ばれる中南米原産の蝶であり，美しい青色を反射する．この青色は翅の色素ではなく，翅表面に配列されたナノ構造が寄与しており，構造色と呼ばれる． 波の干渉によって生み出される構造色は，最先端のレンダリング手法でさえ，その再現が難しいと言われている．これは，これまでの写実的レンダリングの多くが幾何光学に基づいているためである． 我々は，Nonstandard FDTD法を用いてナノ構造の干渉を厳密に解析し，その結果からモルフォ蝶を写実的にレンダリングすることに成功した．

FDTD法ってどんなもの？

有限差分時間領域(FDTD)法は，電磁場の支配方程式であるMaxwell方程式を数値的に解析する手法である．1966年にK. S. Yeeによって発明されたFDTD法は，単純な中心差分法に基づいており，Yeeアルゴリズムとも呼ばれる[1]．しかし，当時はコンピュータの性能が乏しく，FDTD法が注目されることはあまりなかった．1970年から1980年にかけてコンピュータエレクトロニクスが劇的に発展すると，FDTD法もまたスポットライトを浴びることとなった．近年，FDTD法は電磁場解析のもっとも代表的な手法であり，光ファイバー，アンテナ，メタマテリアルの設計などで広く利用されている．

Nonstandard FDTD法ってどんなもの？

Nonstandard FDTD法は，FDTD法を単色波に最適化することにより，その精度を飛躍的に向上させたアルゴリズムである．この原案は，1994年にR. E. Mickensが発明した微分方程式のNonstandard有限差分法である[2]．1995年にJ. B. Coleは，この手法を電磁場解析に応用し，Nonstandard有限差分法の実用性とその劇的な効果を示した[3][4]．Nonstandard FDTD法は飛躍的な精度の向上をもたらすにもかかわらず，計算コストは従来のFDTD法とほとんど変わらないことが知られている．

参考文献:

1. K. S. Yee, "Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media," IEEE Trans. Antennas Propag. 14, 3, pp. 302-307 (1966).
2. R. E. Mickens, "Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equation," World Scientific (1994).
3. J. B. Cole, "A high accuracy FDTD algorithm to solve microwave propagation and scattering problems on a coarse grid" IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 43, 9, pp. 2053-2058 (1995).
4. J. B. Cole, "A high-accuracy realization of the Yee algorithm using non-standard finite differences," IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 45, 6, pp. 991-996 (1997).

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